El Precio Optimo de un
Producto
J. Ignacio Ulacia
F. (13.10.1991, rev.
5.11.2005)
La semana pasada cuando
me dirigia a visitar a un cliente foraneo
pase por una caseta de peaje. Al pagar me
parecio que me estaban cobrando demasiado
por el trayecto que recorria. Conforme
avanzaba en mi viaje me percate que no
habia nadie en la carretera. En una parte
del trayecto la carretera de cuota se
acerca a la carretera libre que tenia
muchos vehiculos. Esto me puso a pensar
sobre el precio que estaban cobrando en la
caseta. En estos momentos pense que la
diferencia de trafico entre ambas
carreteras tendria que que ser una funcion
del precio que se paga en la caseta de
peaje. A mayor precio cobrado, menor
cantidad de transito por la carretera.
Entonces pense internamente.... La empresa
que fija el precio del peaje esta
perdiendo dinero. Como veremos en el
analisis es insuficiente el fijar el
precio, sino considerar la ganancia total
que es una funcion de la utilidad unitaria
y la cantidad de vehiculos que
pagan.
Por otro lado, la
cantidad total de trafico tendria que ser
la suma de las personas que circulan por
ambas carreteras. Asi que aunque la
carretera de cuota fuera gratis, la
cantidad maxima de vehiculos
No que pudieran circular
por la carretera de cuota, sera la suma de
los que circulan en la carretera libre y
en la de cuota. lo unico que hace que mas
o menos vehiculos circulen por una
carretera o la otra es el precio de la
caseta. A igualdad de precio estamos
seguros que los usuarios buscarian la que
les proporcionara mas
beneficios.
Esta idea siguio dando
vueltas en mi mente y tambien se aplica a
los productos que se venden en cualquier
negocio. Como empresarios siempre estamos
pendientes de ofrecer nuestros productos
al mejor precio para tener la mayor
ganancia. Asi al regresar a la oficina
este es el resultado del modelo matematico
desarrollado.
Al final del analisis
se observara que existe un precio optimo
en el cual se obtiene la maxima ganancia.
El precio optimo depende de la tolerancia
de los clientes a pagar mas por un
producto. Los usuarios son muy poco
tolerantes en los productos de primera
necesidad, pero son mas tolerantes con los
articulos de lujo. Esto tambien depende de
la competencia que tenga un producto en el
mercado. Si el consumidor esta consciente
del precio que se debe pagar en el mercado
su tolerancia sera menor. Tambien podemos
mencionar la necesidad. Si un producto es
necesario y hay poca disponibilidad el
precio estara fijado por la ley de la
oferta y la demanda.
Para hacer el analisis
general y considerar cualquier producto,
con diferentes costos y cualquier escala
de precios, se ha normalizado utilizando
el costo del producto como parametro de
normalizacion. Asi que todos los
resultados estaran presentados en por
ciento sobre el costo.
Modelo Matematico de
Precio Optimo
Para entender el modelo
matematico se requieren de conocimientos
de matematicas a nivel
preparatoria
Tiene que existir un
precio, que llamaremos precio
optimo, en el cual se pueda obtener la
mayor ganancia en la venta de los mismos.
Por un lado si se fija el precio del
producto por arriba del precio optimo, se
obtendra mas utilidad unitaria U
por cada venta, pero al mismo tiempo se
tendran menos ventas debido a una menor
cantidad de piezas vendidas N ya
que menos personas pueden comprarlo. Por
el otro lado si el precio es menor al
valor optimo, se tendran mas ventas debido
a mas personas podran comprar el producto
pero se tendra menos utilidad unitaria y
mayor cantidad de trabajo al desplazar mas
producto. El mercado es autoregulable y
siempre busca igualar la demanda total con
la oferta total.
Empecemos por definir
algunos terminos. La ganancia total
G es igual a la utilidad unitaria
U por la cantidad de piezas
vendidas N.
G = U •
N
El numero de piezas
vendidas es una funcion de la cantidad
maxima de posibles compradores
No y el precio P.
Tambien esta involucrado el costo C
del producto que se quiera vender, asi que
normalizaremos el precio en unidades de
costo P/C. Esto se puede ver como
porcentajes de valor de costo. Un valor de
1 representa que el precio es igual al
costo, un valor de 1.2 representa que se
tiene un 20% de utilidad. Estimamos que
una funcion que describe la disminucion de
compradores como funcion del precio es una
exponencial decreciente. Cuando el precio
es cero, o se regala el producto, solo
querran adquirirlo No personas;
Igual que en el caso de la caseta de
peaje. Cuando el precio es muy alto solo
muy pocas personas querran
comprarlo.
La funcion es la
siguiente.
N =
No • exp(- a
(P/C))
donde el valor de
a representa la tolerancia con la
cual el publico es susceptible a los
cambios de precio. Un valor alto
representa que la poblacion es muy
sensible al precio, por ejemplo en
productos basicos. Mientas que un valor
bajo significa que el publico es mas
tolerante, por ejemplo en productos de
lujo. Cada producto tendra un valor de
a diferente que depende de la
publicidad, la necesidad, la competencia y
disponibilidad del producto.
De igual forma la
Utilidad unitaria U se relaciona
con el precio P y el costo C
como
U = P -
C
substituyendo estas
ecuaciones en la primera se
obtiene
G = (P - C)
• No • exp(- a (P/C))
Para normalizar la
funcion se puede hacer la Ganancia como
multiplo del Costo y la funcion final es
la siguiente:
G/C =
No [ (P/C - 1) • exp(-
a (P/C)) ]
La grafica de esta
funcion se muestra a continuacion de color
negro. Se muestran a su vez la Utilidad de
color rojo y la poblacion N que
disminuye conforme el precio de los
productos (P/C) se
incrementa.
Podemos observar las
siguientes propiedades del modelo que se
reflejan adecuadamente con los observados
en la vida real.
- En la realidad si
regalamos el producto, entonces la
Utilidad total sera una perdida
equivalente al Costo; el modelo predice
que para un precio P/C=0, la
funcion es igual a G/C=-1 que
representa una perdida igual al
costo.
- Para un precio
equivalente al costo P/C=1, la
Ganancia G/C = 0 es igual a
cero.
- Cuando el precio es
muy alto, intuitivamente sabemos que
menos personas compraran el producto.
Llegara un punto en el que el precio
sera tan alto que nadie lo comprara. La
funcion muestra este comportamiento
para altos valores de P/C. La
Ganancia G/C tiende a
cero.
- En un valor
intermedio de P/C observamos que
esta funcion tiene un maximo lo que
significa que tiene un precio optimo.
Podemos observar que tambien se obtiene
un Ganancia Optima que para un valor de
a=1 es como del
13.53%.
- El valor optimo
aparece cuando el valor de P/C = 1 +
1/a que se demostrara
matematicamente.
Para obtener el precio
optimo tenemos que recurrir a calculo
diferencial. Sabemos que un maximo o un
minimo se obtienen cuando la derivada de
la funcion es igual a cero. Para ello
tenemos que derivar la funcion G/C
con respecto de P/C, igualarla a
cero y esto nos dara el valor al cual la
funcion es un maximo o un minimo.
Derivando la funcion original y
rearreglando los terminos se puede obtener
facilmente
dG/dC =
No • exp(- a (P/C)) •
[1- a P/C + a] =
0
al igualar la derivada
a cero y teniendo un producto de
funciones, podemos tener dos
alternativas,
1) la
exponencial es igual a cero que
corresponde al minimo cuando el valor
de P/C tiende a infinito,
No
• exp(- a (P/C)) =
0
2) el termino de la
derecha es el maximo:
[1- a
P/C + a] = 0
despejando el valor de
P/C obtenemos
P/C = [1 +
1/a]
Este resultado tiene
varios significados. El primero es que el
precio optimo es exclusivamente una
funcion del valor de a; es decir,
de la tolerancia de los consumidores hacia
el precio. En nuestro ejemplo el valor de
a = 1 y el maximo se presenta cuando el
valor de P/C = 2. Es decir que el precio
optimo de la mercancia sera el doble del
costo.
La siguiente grafica
muestra la misma funcion pero variando el
valor de a.
Podemos observar que al
disminuir el valor de a, es decir,
cuando la tolerancia de los consumidores
hacia el precio es mayor y pueden aceptar
un precio mayor, se pueden obtener
ganancias mayores con precios optimos
mayores.
El valor de la ganancia
optima esta fijo con el valor de a.
Esto significa que debemos comprender el
mercado y lo que sucede diariamente. Para
obtener el valor de la Ganancia Optima
como funcion de a, solo se
substituye el valor del precio optimo en
la funcion original y se
obtiene
[G/C]optima
= No [ ( 1/a ) •
exp(-(1 + a)) ]
con la siguiente
grafica.
Aqui podemos observar
que cuando el comprador tiene una mayor
disposicion a pagar mas por el producto,
es decir un menor valor de a, se
pueden obtener ganancias muy
considerables. Esto sucede cuando hay
escasez de producto y se tiende a la
especulacion.
Para poder identificar
el valor optimo que debe ofrecer en su
producto tendra que hacer un estudio de
mercado. La consecuencia principal es que
el valor de a depende de la
cantidad de competencia que tenga su
mercado.
La aplicacion de este
modelo en el comercio esta dado por la
magnitud del mercado potencial. Hay
productos que podran tener un margen muy
bueno pero la cantidad de individuos
dispuestos a adquirirlos es
menor.
CONTINUA...
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